LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (2 CASO y 3 CASO)

SEGUNDO CASO 

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TERMINO

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

Ejemplo 1:a2 + ab + ax + bx

(a2 + ab) + (ax + b)
a(a + b) + x(a +b)(a + b) (a +x)



Ejemplo 2:
4am3 – 12 amn – m2 + 3n
= (4am3 – 12amn) – (m2 + 3n)
=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)
R: (m2 – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x
= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)
= (a2b3 + a2b3x2 – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)
= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)
R: (1 + x2 – 3x) (a2b3 - n4 )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo 1;
a2 – 2ab + b2
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de b2 = b
Doble producto sus raíces
(2 X a X b) 2ab (cumple)
R: (a – b) 2

Ejemplo 2:
49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4
Raíz cuadrada de 49m6 = 7m3
Raíz cuadrada de 25a2n4 = 5an2
Doble producto sus raíces
(2 X 7m3 X 5a2n2) = 70am3 n2 (cumple)
R: (7m – 5an2)

Ejemplo 3:
9b2 – 30 ab + 25a2
Raíz cuadrada de 9b2 = 3b
Raíz cuadrada de 25 a2= 5a
Doble producto sus raíces
(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) 2



CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:



a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de (a – b) 2 = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b)) 2

(a + a – b) = (2a –b) 2




Ejemplo 2:

(x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2

Raíz cuadrada de (x + y)2 =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x) 2 = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x)) 2

(x + y – a – x) 2 = (y – a) 2

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN 

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.


FACTORES
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:
a(a + b) = a2 + ab
(x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6
(m + n) (m- n) = m2 - mn - n2


CASOS DE FACTORIZACIÓN
CASO I
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Factor Común Monomio:
Ejemplo 1:

14x2 y2 - 28x3 + 56x4

R: 14x2 (y2 - 2x + 4x2)
Ejemplo 2:

X3 + x5 – x7 = R: x3 (1 + x2 - x4)

Ejemplo 3:

100a2 b3c –150ab2c2 + 50 ab3c3 - 200abc2=



R: 50abc (2ab2 – 3bc +b2c2 – 4c)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:




(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)



R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)



(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)


-z ( 3x +2)


Ejemplo 3:

(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1

R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)

( a2 + 1)(a + b - 1)-1

( a2 + 1)(a + b -1 -1)
( a2 + 1)(a + b -2)

Problemas de ecuaciones de primer grado

Una vez entendido en concepto de ecuaciones de primer grado ahora plantearemos problemas de ecuaciones

Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones

- Leer y comprender el enunciado

- Designar la incógnita

- Plantear la ecuación

- Resolver la ecuación

- Discusión e interpretación de los resultados

EJEMPLOS:

1) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?


Años x


35 + x = 3 · (5 + x )


35 + x = 15 + 3 · x


20 = 2 · x x = 10


Al cabo de 10 años.


2) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.


C x


B x + 40


A x + 40 + 40 = x+ 80


x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;


3x = 60; x= 20


C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º


PRACTICAR EN CASA:


-Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 € el litro?

-Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

-La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

-En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

-Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

-Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

-Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:


1)Litros de gasolina que tenía en el depósito.

2)Litros consumidos en cada etapa.

Ecuaciones de primer grado

Concepto de ecuación

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y suprimimos los denominadores.

2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos. Al final tendremos a ambos lados del igual, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.

3. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los números al otro lado.

4. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

5. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer grado. Ejemplos

Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11   ⇒   x - 5 x = 11 - 3   ⇒   - 4 x = 8   ⇒   x = 8 / - 4   ⇒ x = - 2

Todo número real: nos da    ⇒  0 x = 0. Tiene solución para cualquier valor de x, decimos que tiene infinitas soluciones.

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x   ⇒   - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13   ⇒   0 = 0

Incompatible: se anulan las x y nos da   ⇒  0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x   ⇒    5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2    ⇒   0 x = - 10

Para Practicar:

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es cualquier combinación de letras y números ligados por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, se denominan variables o incógnitas y los números coeficientes.

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplos: Expresiones algebraicas

Expresa mediante expresiones algebraicas:

a) El doble de un número menos cuatro unidades.

b) La mitad de sumarle 5 al triple de un número.

c) El perímetro y el área de un terreno rectangular.

ENTONCES LAS SOLUCIONES SON:

a) Si llamamos x\;\! al número, entonces el doble del número menos cuatro unidades es 2x-4\;.

b) Llamando x\;\! al número, la mitad de sumarle 5 al triple de dicho número es \cfrac{3x+5}{2}

c) Si suponemos que el terreno rectangular mide x\;\! de largo e y\;\! de ancho, tenemos:

Perimetro: 2x+2y\;\!

Area: x \cdot y

Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas. Dependiendo del número de sumandos, tenemos: 

• Monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
• Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
• Dos expresiones algebraicas separadas por un signo =\;\! reciben el nombre de ecuación.
• Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

Ejemplos:

Valor numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.

Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica

Halla el valor numérico de los polinomios:

a) 3x^5+2x\;\! para x=2\;\!

b) 2xy-3y^2+5\; para x=1\; e y=2\;.

Solución:

a) El valor numérico del polinomio es: 3 \cdot 2^5+2 \cdot 2=100

b) El valor numérico del polinomio es: 2 \cdot 1 \cdot 2 -3 \cdot 2^2 + 5=-3

Matemáticas Básicas

La División.

La DIVISIÓN es la operación aritmética en la cual, teniendo un número mayor que UNO, se le hace con él varias partes iguales. El número se denomina DIVIDENDO; y la cantidad de partes iguales que pueden hacerse, se denomina DIVISOR.

Esta división se representa utilizando solamente el número que representa el dividendo y el que representa el divisor, y se utiliza el signo de DIVIDIDO:

8             ÷             4             =             2

38           ÷             2             =             19

540         ÷             4             =             135

5250       ÷             5             =             1050

221760   ÷             21           =             10560

50000     ÷             2             =             25000

La división es como una multiplicación hecha “al revés”; por lo cual se dice que es la inversa de la multiplicación. Esto permite hacer una prueba para saber si el resultado de la división que se obtuvo es el correcto; que consiste en multiplicar ese resultado por el divisor, y si la división estuvo bien hecha, dará como resultado el dividendo.

8             ÷             4             =             2

4             ×             2             =             8

Una vez terminado estos ejercicios tendrás que practicar mas no olvidando nunca que unidad con unidad, decena con decena y centena con centena.

Para que se te haga mas sencillo practica de 10 a 15 ejercicios por día.

Matemáticas Básicas

La Multiplicación.

La MULTIPLICACIÓN es la operación aritmética en la cual, se suma varias veces el mismo número. El número se denomina MULTIPLICANDO; y el otro número, que representa la cantidad de veces que el multiplicando es sumado, se denomina MULTIPLICADOR. El resultado de la multiplicación, se denomina PRODUCTO

Cuando se representa la multiplicación utilizando solamente el número que representa el multiplicando y el que representa el multiplicador, se utiliza el signo de POR:

2             ×             4              =             8

3             ×             3              =             9

9             ×             3              =             27

25            ×            5              =             125

50            ×            30            =             1500

500           ×           30             =             15000

Una vez terminado estos ejercicios tendrás que practicar mas no olvidando nunca que unidad con unidad, decena con decena y centena con centena.

Para que se te haga mas sencillo practica de 10 a 15 ejercicios por día.