LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (4 CASO Y 5 CASO)

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

Ejemplo 1:

X2 - y 2x y = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia R: = (x + y) (x- y)

Ejemplo 2:

100m2n4 - 169y6
10mn2 13y3 = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)

Ejemplo 3:

1 - 9a2b4c6d8
1 3 ab2c3d4 = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4)

CASO ESPECIAL

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es c
Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b - c)

Ejemplo 1:

(a - 2b)2 - (x + y)2 (a - 2b) (x + y) = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((a - 2b) + (x + y)) ((a - b) - (x + y))
(a - 2b + x + y) (a -2b - x - y)

Ejemplo 2:
16a10 - (2a2 + 3) 2
4a5 (2a2 + 3) = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia R: = ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))
(4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)
Ejemplo 3:
36(m + n)2 - 121(m - n)2
6(m + n) 11(m - n) = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n))
(6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)
(17m + 5n ) (5m +17n)

CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV

Ejemplo 1:


a2 + 2ab + b2 - x2

(a2 + 2ab + b2) - x2

(a + b) 2 - x2


R : (a + b + x)(a + b - x)


Ejemplo 2:


1 - a2 + 2ax - x2

1 - (a2 + 2ax - x2)

1 - (a - x)2


R: (1 - a + x) (1 + a + x)


Ejemplo 3:

16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2

(16a2 -24ax + 9x2) - (1 + 10m + 25m2)

(4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2


R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.Ejemplo 1:

a4 + a2 + 1
+ a2 - a2
a4 + 2a2+ 1 - a2


(a4 + 2a2+ 1) - a2

(a2 + 1)2 - a2


R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)



Ejemplo 2:


254 + 54a2b2 + 49b4
+ 16 a2b2 - 16 a2b2­
254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2­

(254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2­

(5a2 + 7b)2- 16 a2b2


R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)

(5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)


Ejemplo 3:


81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16
+ 4 a2b4x8 – 4 a2b4x8
81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16 – 4 a2b4x8

(81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16) – 4 a2b4x8

(9a2b4 - 16x8)2 – 4 a2b4x8


R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4) (9a2b4 - 16x8 – 2 ab2x4)

(9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8) (9a2b4 – 2 ab2x4 - 16x8 )

CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

Ejemplo 1:


x4+ 64y4
x4 + 64y4
+ 16x2y2 - 16x2y2
x4 + 16x2y2 + 64y4 - 16x2y2


(x4 + 16x2y2 + 64y4) - 16x2y2

(x2 + 8y2)2 - 16x2y2



R: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 - 4xy) (x2 + 4xy + 8y2) (x2 - 4xy + 8y2)


Ejemplo 2:

4m4 + 81n4


4m4 + 81n4 + 36m2n2 - 36m2n2
4m4 + 36m2n2 + 81n4 - 36m2n2


(4m4 + 36m2n2 +81n4) - 36m2n2

(2m2 + 9n2)2 - 6m2n2



R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn) (2m2 + 6mn + 9n2) (2m2 - 6mn + 9n2)



Ejemplo 3:

81a4 + 64b4

81a4 + 64b4 +144a2b2 - 144a2b2
81a4 +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2


(81a4 +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2

(9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2



R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2)