PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

SE APLICA EL MISMO PROCESO PROCESO DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA DIFERENCIA QUE ES CUADRÁTICA.

EJEMPLOS:

1)

2)

3)

A PRACTICAR EN CASA:

EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

A PRACTICAR EN CASA:

NO OLVIDES QUE LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:




donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación

EJEMPLOS:

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

MISCELÁNEA DE LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

CON ESTOS EJERCICIOS REFORZARÁS LO APRENDIENDO EN ESTOS 3 CAPÍTULOS

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (8 CASO, 9 CASO Y 10 CASO)

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2 - b3
La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo 1:

a3 + 3a2 + 3a + 1Raíz cúbica de a3 = a
Raíz cúbica de 1 = 1
Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2
Tercer término = 3(a)(1)2 = 3a



R: (a + 1)3

Ejemplo 2:

64x9 – 125y12 – 240x6y4 + 300x3y864x9 – 240x6y4 + 300x3y8 – 125y12
Raíz cúbica de 64x9 = 4x3
Raíz cúbica de 125y12 = 5y4
Segundo término= 3(4x3)2(5y4) = 240x6y4
Tercer término = 3(4x3)(5y4)2 = 300x3y8


R: ( 4x3 – 5y4 )3


Ejemplo 3:


125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15Raíz cúbica de 125x12 = 5x4
Raíz cúbica de 512y15 =8y5
Segundo término= 3(5x4)2(8y5) =600x8y5
Tercer término = 3(5x4)(8y5)2 =960x4y10



R: ( 5x4 + 8y5 )3

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Pasos para resolver el ejercicio:
1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (1) nos dice:
REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)
La fórmula (2) nos dice:
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)

Ejemplo 1:

1 + a3 (1 + a) (12 – 1(a) +( a)2)


R:(1 + a) (1 – a + a2)

Ejemplo 2:

x3 – 27
(x – 3 ) ((x)2 + (x)3 + (3)2)


R: (x – 3 ) (x2 + 3x + 9)

Ejemplo 3:

x6 – 8y12
(x2 – 2y4) ((x2)2 + (x2)(2y4) + (2y4)2)


R: (x2 – 2y4) (x4 + 2x2 y4 + 4y8)

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1:

1 + (x + y)3
(1 +(x + y) (12 – 1(x + y) +(x + y)2)

R:(1 + x + y) (1 – (x + y) + (x + y)2)
(1 + x + y) (1 – x – y + x2 + 2xy + y2)

Ejemplo 2:

(m – 2)3 + (m – 3)3
((m – 2) + (m – 3) ((m – 2)2 – ((m – 2) (m – 3) + (m – 3)2)

R: (m – 2+ m – 3) ((m2 – 4m + 4) – ((m – 2) (m – 3)) + (m2 – 6m + 9))
(2m – 5) (m2 – 4m + 4) – (m2 – 3m – 2m + 6) + (m2 – 6m + 9))
(2m – 5) (m2 – 4m + 4– m2 + 3m + 2m – 6 + m2 – 6m + 9)
(2m – 5) (m2 – 5m +7)

Ejemplo 3:
(x – y)3 – 8

((x – y) – 2) ((x– y)2 + 2(x – y) + (2)2)
R: (x – y – 2) (x2 – 2xy + y2 + 2x– 2y + 4)

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Procedimiento:
Se aplican los siguientes criterios:
Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + - bn


Criterio 1: an – bn es divisible por a - b siendo n par o impar
Criterio 2: an – bn es divisible por a + b siendo n impar
Criterio 3: an – bn es divisible por a + b siendo n es par
Criterio 4: an + bn nunca es divisible por a - b


Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales
Factorar x5 +32
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x5 = x; raíz quinta de 32 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:


(x4 – x3(2) +x2(2)2 – x (2)3 + (2)4) = (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
x5 +32 = (x +2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

Ejemplo 1:

a5 + 1

a5 + 1 = a4 – a3 + a2 – a + 1 a + 1


Ejemplo 2:

m7 – n7

m7 – n7 = m6 + m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4+ mn5 + n6 m – n


Ejemplo 3:


x7 + 128
x7 + 128 = x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 +16x2 – 32x + 64
x + 2

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (6 CASO Y 7 CASO )

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como


x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15


Que cumplen las condiciones siguientes:
• El coeficiente del primer término es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

Ejemplo 1:


x2 + 7x + 10

R :( x + 5 ) ( x + 2 )

Ejemplo 2:


n2 + 6n – 16

R: ( n + 8 ) ( n – 2 )

Ejemplo 3:


a2 + 42a + 432

R: ( a + 24 ) (a + 18 )

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1

X8 – 2x4 – 80


R: ( x4 – 10 ) ( x4 + 8 )

Ejemplo 2:

(m – n)2 + 5(m – n) – 24

R: (( m – n) + 8 ) ((m – n) – 3 )


( m – n + 8 ) (m – n – 3 )

Ejemplo 3:


m2 + abcm – 56a2b2c2
R: ( m + 8abc ) (m – 7abc)

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:
El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.

ax2 + bx + c

Ejemplo 1:

2x2 + 3x – 2

(2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2

= 4x2 + (2) 3x – 4


= (2x + 4 ) (2x – 1 )
2 x 1

R= (x + 2) (2x – 1)



Ejemplo 2:

16m + 15m2 – 15

15m2 + 16m – 15

15(15m2) +(15) 16m –(15) 15


= 225m2 + (15) 16m – 225

= (15 m + 25 ) ( 15 m – 9 )
5 x 3

R= ( 3m + 5 ) ( 5m – 3 )


Ejemplo 3:

30x2 + 13x –10

(30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10

900x2 + (30)13x – 300

= (30x + 25 ) (30 x – 12 )
5 x 6

= (6x + 5) (5x – 2)

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1:


6x4 + 5x2 – 6

(6) 6x4 + (6)5x2 – (6) 6

36x4 + (6)5x2 – 36


= (6x2 + 9 ) (6x2 – 4 ) 3 x 2



= (2x2 + 3) (3x2 – 2)

Ejemplo 2:



6m2 – 13am – 15a2

(6) 6m2 – (6) 13am – (6)15a2

36m2 – (6) 13am – 90 a2

= (6m – 18a ) (6m + 5a ) 6 x 1


= (m – 3a ) (6m + 5a)


Ejemplo 3:


18a2 + 17 ay – 15y2

(18) 18a2 + (18)17 ay – (18) 15y2

324a2 + (18) 17ay – 270y2


= (18a + 27 ) (18a – 10 ) 9 x 2


= (2a + 3y) (9a – 5y)

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (4 CASO Y 5 CASO)

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

Ejemplo 1:

X2 - y 2x y = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia R: = (x + y) (x- y)

Ejemplo 2:

100m2n4 - 169y6
10mn2 13y3 = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)

Ejemplo 3:

1 - 9a2b4c6d8
1 3 ab2c3d4 = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4)

CASO ESPECIAL

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es c
Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b - c)

Ejemplo 1:

(a - 2b)2 - (x + y)2 (a - 2b) (x + y) = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((a - 2b) + (x + y)) ((a - b) - (x + y))
(a - 2b + x + y) (a -2b - x - y)

Ejemplo 2:
16a10 - (2a2 + 3) 2
4a5 (2a2 + 3) = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia R: = ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))
(4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)
Ejemplo 3:
36(m + n)2 - 121(m - n)2
6(m + n) 11(m - n) = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n))
(6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)
(17m + 5n ) (5m +17n)

CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV

Ejemplo 1:


a2 + 2ab + b2 - x2

(a2 + 2ab + b2) - x2

(a + b) 2 - x2


R : (a + b + x)(a + b - x)


Ejemplo 2:


1 - a2 + 2ax - x2

1 - (a2 + 2ax - x2)

1 - (a - x)2


R: (1 - a + x) (1 + a + x)


Ejemplo 3:

16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2

(16a2 -24ax + 9x2) - (1 + 10m + 25m2)

(4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2


R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.Ejemplo 1:

a4 + a2 + 1
+ a2 - a2
a4 + 2a2+ 1 - a2


(a4 + 2a2+ 1) - a2

(a2 + 1)2 - a2


R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)



Ejemplo 2:


254 + 54a2b2 + 49b4
+ 16 a2b2 - 16 a2b2­
254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2­

(254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2­

(5a2 + 7b)2- 16 a2b2


R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)

(5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)


Ejemplo 3:


81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16
+ 4 a2b4x8 – 4 a2b4x8
81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16 – 4 a2b4x8

(81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16) – 4 a2b4x8

(9a2b4 - 16x8)2 – 4 a2b4x8


R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4) (9a2b4 - 16x8 – 2 ab2x4)

(9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8) (9a2b4 – 2 ab2x4 - 16x8 )

CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

Ejemplo 1:


x4+ 64y4
x4 + 64y4
+ 16x2y2 - 16x2y2
x4 + 16x2y2 + 64y4 - 16x2y2


(x4 + 16x2y2 + 64y4) - 16x2y2

(x2 + 8y2)2 - 16x2y2



R: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 - 4xy) (x2 + 4xy + 8y2) (x2 - 4xy + 8y2)


Ejemplo 2:

4m4 + 81n4


4m4 + 81n4 + 36m2n2 - 36m2n2
4m4 + 36m2n2 + 81n4 - 36m2n2


(4m4 + 36m2n2 +81n4) - 36m2n2

(2m2 + 9n2)2 - 6m2n2



R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn) (2m2 + 6mn + 9n2) (2m2 - 6mn + 9n2)



Ejemplo 3:

81a4 + 64b4

81a4 + 64b4 +144a2b2 - 144a2b2
81a4 +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2


(81a4 +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2

(9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2



R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2)

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (2 CASO y 3 CASO)

SEGUNDO CASO 

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TERMINO

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

Ejemplo 1:a2 + ab + ax + bx

(a2 + ab) + (ax + b)
a(a + b) + x(a +b)(a + b) (a +x)



Ejemplo 2:
4am3 – 12 amn – m2 + 3n
= (4am3 – 12amn) – (m2 + 3n)
=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)
R: (m2 – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x
= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)
= (a2b3 + a2b3x2 – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)
= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)
R: (1 + x2 – 3x) (a2b3 - n4 )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo 1;
a2 – 2ab + b2
Raíz cuadrada de a2 = a
Raíz cuadrada de b2 = b
Doble producto sus raíces
(2 X a X b) 2ab (cumple)
R: (a – b) 2

Ejemplo 2:
49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4
Raíz cuadrada de 49m6 = 7m3
Raíz cuadrada de 25a2n4 = 5an2
Doble producto sus raíces
(2 X 7m3 X 5a2n2) = 70am3 n2 (cumple)
R: (7m – 5an2)

Ejemplo 3:
9b2 – 30 ab + 25a2
Raíz cuadrada de 9b2 = 3b
Raíz cuadrada de 25 a2= 5a
Doble producto sus raíces
(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) 2



CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:



a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de (a – b) 2 = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b)) 2

(a + a – b) = (2a –b) 2




Ejemplo 2:

(x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2

Raíz cuadrada de (x + y)2 =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x) 2 = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x)) 2

(x + y – a – x) 2 = (y – a) 2

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN 

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.


FACTORES
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:
a(a + b) = a2 + ab
(x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6
(m + n) (m- n) = m2 - mn - n2


CASOS DE FACTORIZACIÓN
CASO I
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Factor Común Monomio:
Ejemplo 1:

14x2 y2 - 28x3 + 56x4

R: 14x2 (y2 - 2x + 4x2)
Ejemplo 2:

X3 + x5 – x7 = R: x3 (1 + x2 - x4)

Ejemplo 3:

100a2 b3c –150ab2c2 + 50 ab3c3 - 200abc2=



R: 50abc (2ab2 – 3bc +b2c2 – 4c)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:




(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)



R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)



(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)


-z ( 3x +2)


Ejemplo 3:

(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1

R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)

( a2 + 1)(a + b - 1)-1

( a2 + 1)(a + b -1 -1)
( a2 + 1)(a + b -2)

Problemas de ecuaciones de primer grado

Una vez entendido en concepto de ecuaciones de primer grado ahora plantearemos problemas de ecuaciones

Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones

- Leer y comprender el enunciado

- Designar la incógnita

- Plantear la ecuación

- Resolver la ecuación

- Discusión e interpretación de los resultados

EJEMPLOS:

1) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?


Años x


35 + x = 3 · (5 + x )


35 + x = 15 + 3 · x


20 = 2 · x x = 10


Al cabo de 10 años.


2) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.


C x


B x + 40


A x + 40 + 40 = x+ 80


x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;


3x = 60; x= 20


C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º


PRACTICAR EN CASA:


-Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 € el litro?

-Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

-La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

-En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

-Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

-Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

-Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:


1)Litros de gasolina que tenía en el depósito.

2)Litros consumidos en cada etapa.

Ecuaciones de primer grado

Concepto de ecuación

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y suprimimos los denominadores.

2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos. Al final tendremos a ambos lados del igual, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.

3. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los números al otro lado.

4. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

5. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer grado. Ejemplos

Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11   ⇒   x - 5 x = 11 - 3   ⇒   - 4 x = 8   ⇒   x = 8 / - 4   ⇒ x = - 2

Todo número real: nos da    ⇒  0 x = 0. Tiene solución para cualquier valor de x, decimos que tiene infinitas soluciones.

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x   ⇒   - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13   ⇒   0 = 0

Incompatible: se anulan las x y nos da   ⇒  0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x   ⇒    5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2    ⇒   0 x = - 10

Para Practicar:

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es cualquier combinación de letras y números ligados por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, se denominan variables o incógnitas y los números coeficientes.

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplos: Expresiones algebraicas

Expresa mediante expresiones algebraicas:

a) El doble de un número menos cuatro unidades.

b) La mitad de sumarle 5 al triple de un número.

c) El perímetro y el área de un terreno rectangular.

ENTONCES LAS SOLUCIONES SON:

a) Si llamamos x\;\! al número, entonces el doble del número menos cuatro unidades es 2x-4\;.

b) Llamando x\;\! al número, la mitad de sumarle 5 al triple de dicho número es \cfrac{3x+5}{2}

c) Si suponemos que el terreno rectangular mide x\;\! de largo e y\;\! de ancho, tenemos:

Perimetro: 2x+2y\;\!

Area: x \cdot y

Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas. Dependiendo del número de sumandos, tenemos: 

• Monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
• Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
• Dos expresiones algebraicas separadas por un signo =\;\! reciben el nombre de ecuación.
• Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

Ejemplos:

Valor numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.

Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica

Halla el valor numérico de los polinomios:

a) 3x^5+2x\;\! para x=2\;\!

b) 2xy-3y^2+5\; para x=1\; e y=2\;.

Solución:

a) El valor numérico del polinomio es: 3 \cdot 2^5+2 \cdot 2=100

b) El valor numérico del polinomio es: 2 \cdot 1 \cdot 2 -3 \cdot 2^2 + 5=-3

Matemáticas Básicas

La División.

La DIVISIÓN es la operación aritmética en la cual, teniendo un número mayor que UNO, se le hace con él varias partes iguales. El número se denomina DIVIDENDO; y la cantidad de partes iguales que pueden hacerse, se denomina DIVISOR.

Esta división se representa utilizando solamente el número que representa el dividendo y el que representa el divisor, y se utiliza el signo de DIVIDIDO:

8             ÷             4             =             2

38           ÷             2             =             19

540         ÷             4             =             135

5250       ÷             5             =             1050

221760   ÷             21           =             10560

50000     ÷             2             =             25000

La división es como una multiplicación hecha “al revés”; por lo cual se dice que es la inversa de la multiplicación. Esto permite hacer una prueba para saber si el resultado de la división que se obtuvo es el correcto; que consiste en multiplicar ese resultado por el divisor, y si la división estuvo bien hecha, dará como resultado el dividendo.

8             ÷             4             =             2

4             ×             2             =             8

Una vez terminado estos ejercicios tendrás que practicar mas no olvidando nunca que unidad con unidad, decena con decena y centena con centena.

Para que se te haga mas sencillo practica de 10 a 15 ejercicios por día.

Matemáticas Básicas

La Multiplicación.

La MULTIPLICACIÓN es la operación aritmética en la cual, se suma varias veces el mismo número. El número se denomina MULTIPLICANDO; y el otro número, que representa la cantidad de veces que el multiplicando es sumado, se denomina MULTIPLICADOR. El resultado de la multiplicación, se denomina PRODUCTO

Cuando se representa la multiplicación utilizando solamente el número que representa el multiplicando y el que representa el multiplicador, se utiliza el signo de POR:

2             ×             4              =             8

3             ×             3              =             9

9             ×             3              =             27

25            ×            5              =             125

50            ×            30            =             1500

500           ×           30             =             15000

Una vez terminado estos ejercicios tendrás que practicar mas no olvidando nunca que unidad con unidad, decena con decena y centena con centena.

Para que se te haga mas sencillo practica de 10 a 15 ejercicios por día.

Matemáticas Básicas

La Resta.

La RESTA es la operación aritmética mediante la cual, teniendo dos números, se quita de la que tiene más cantidad de unidades, la que tiene menos cantidad de unidades, para obtener otro número que representa la diferencia de cantidad entre ellos.

El mayor de los números se denomina MINUENDO; y el menor se denomina SUSTRAENDO.

Esta operación también se representa colocando solamente el número que representa el total de las unidades de cada término y también el que representa el resultado de la resta:

5             –             2             =             3

15           –             8             =             7

18           –             3             =             15

150         –           27             =             123

4600       –            36              =            4564

10300     –             70             =            10230

Una vez terminado estos ejercicios tendrás que practicar mas no olvidando nunca que unidad con unidad, decena con decena y centena con centena.

Para que se te haga mas sencillo practica de 10 a 15 ejercicios por día.

Matemáticas Básicas

OPERACIONES FUNDAMENTALES

Los números representan unidades de cosas; pero es posible utilizarlos como solamente números; y de esa forma, realizar con ellos diversas operaciones que sirven para realizar cálculos que son muy útiles; y que se llaman operaciones aritméticas.

Esas operaciones son:

— La SUMA — (también llamada ADICIÓN), que se representa con el signo de MÁS: +

— La RESTA — (también llamada SUSTRACCIÓN o DIFERENCIA) que se representa con el signo de MENOS: –

— La MULTIPLICACIÓN — que se representa con el signo de POR: ×

— La DIVISIÓN — que se representa con el signo de DIVIDIDO: ÷

El resultado de las operaciones, se representa utilizando el signo de IGUAL: =

LA SUMA 

La SUMA es la operación aritmética mediante la cual, teniendo dos o más números, se acumula la cantidad de unidades que cada uno representa, para obtener otro número que representa la cantidad de todos ellos.

Cada uno de los números que representan las unidades de uno y otro grupo, se denominan SUMANDOS.

  

 Esa operación se representa colocando solamente el número que representa el total de las unidades de cada sumando y también el que representa el resultado de la suma:

2             +             2             =             4

3             +             5             =             8

8             +             7             =             15

60           +             5             =             65

100         +             23           =             123

900         +             165         =             1065

8000       +             2567       =             10567

Una vez terminado estos ejercicios tendrás que practicar mas no olvidando nunca que unidad con unidad, decena con decena y centena con centena.

Para que se te haga mas sencillo practica de 10 a 15 ejercicios por día.

BIENVENIDOS AL GRAN MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS

"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo".

La matemática y el lenguaje, inseparables en el saber y saber hacer, de todos los días

Las matemáticas y el lenguaje son fundamentales en el desarrollo de los estudiantes y son conocidos como las áreas que en forma especial ayudan a aprender a aprender y a aprender a pensar. Además, dan al estudiante competencias básicas e indispensables para incorporarse en el mercado laboral.

Las matemáticas ya no son un “dolor de cabeza”

Por diversas razones, durante muchos años las matemáticas han constituido un “dolor de cabeza” para los padres, los maestros y los alumnos desde el inicio de su proceso educativo. Por ello, para el Ministerio de Educación Nacional ha sido de particular importancia trabajar en estrategias que desvirtúen definitivamente el temor que las matemáticas producen en los estudiantes, lo que, en muchos casos, provoca un bloqueo en el desarrollo de su vida escolar y, lo que es más grave, un bloqueo en el logro de las competencias laborales que hacen de un individuo un ser productivo. Se trata, por lo tanto, de que las matemáticas despierten en ellos curiosidad, interés y gusto.

Las matemáticas de hoy se pueden aprender con gusto

Es muy importante lograr que la comunidad educativa entienda que las matemáticas son accesibles y aun agradables si su enseñanza se da mediante una adecuada orientación que implique una permanente interacción entre el maestro y sus alumnos y entre éstos y sus compañeros, de modo que sean capaces, a través de la exploración, de la abstracción, de clasificaciones, mediciones y estimaciones, de llegar a resultados que les permitan comunicarse, hacer interpretaciones y representaciones; en fin, descubrir que las matemáticas están íntimamente relacionadas con la realidad y con las situaciones que los rodean, no solamente en su institución educativa, sino también en la vida fuera de ella.

La importancia de las matemáticas existe porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podríamos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las matemáticas constantemente, en la escuela, en la oficina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo.

Las matemáticas se lleva en la sangre porque para cualquier proceso o paso que se haga en la vida cotidiana la vamos a necesitar ademas nos permite conocer el estado real de los movimientos diarios.

En si las matemáticas se basa en las cuatro operaciones fundamentales de algo tan sencillo conocemos el gran mundo en el cual van los valientes y se llama MATEMÁTICAS.

Introducción

La palabra «matemática» (del griego μαθηματικά mathēmatiká , «cosas que se aprenden») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de «estudio matemático» en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), «relacionado con el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a significar «matemático». En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa «el arte matemática».

Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemática, pero definirla ha sido difícil, se muestran algunas definiciones de pensadores famosos:

• René Descartes: "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles." 
• David Hilbert: “En un cierto sentido, el análisis matemático es una sinfonía del infinito. La matemática es el sistema de las fórmulas demostrables.” 
• Benjamin Peirce: “La matemática es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.” 
• John David Barrow:. “En el fondo, matemática es el nombre que le damos a la colección de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de números, en tanto que otras son relaciones más abstractas entre estructuras. La esencia de la matemática está en la relación entre cantidades y cualidades.