PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

SE APLICA EL MISMO PROCESO PROCESO DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA DIFERENCIA QUE ES CUADRÁTICA.

EJEMPLOS:

1)

2)

3)

A PRACTICAR EN CASA:

EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

A PRACTICAR EN CASA:

NO OLVIDES QUE LA PRÁCTICA HACE AL MAESTRO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:




donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación

EJEMPLOS:

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

MISCELÁNEA DE LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

CON ESTOS EJERCICIOS REFORZARÁS LO APRENDIENDO EN ESTOS 3 CAPÍTULOS

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (8 CASO, 9 CASO Y 10 CASO)

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2 - b3
La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo 1:

a3 + 3a2 + 3a + 1Raíz cúbica de a3 = a
Raíz cúbica de 1 = 1
Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2
Tercer término = 3(a)(1)2 = 3a



R: (a + 1)3

Ejemplo 2:

64x9 – 125y12 – 240x6y4 + 300x3y864x9 – 240x6y4 + 300x3y8 – 125y12
Raíz cúbica de 64x9 = 4x3
Raíz cúbica de 125y12 = 5y4
Segundo término= 3(4x3)2(5y4) = 240x6y4
Tercer término = 3(4x3)(5y4)2 = 300x3y8


R: ( 4x3 – 5y4 )3


Ejemplo 3:


125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15Raíz cúbica de 125x12 = 5x4
Raíz cúbica de 512y15 =8y5
Segundo término= 3(5x4)2(8y5) =600x8y5
Tercer término = 3(5x4)(8y5)2 =960x4y10



R: ( 5x4 + 8y5 )3

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Pasos para resolver el ejercicio:
1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (1) nos dice:
REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)
La fórmula (2) nos dice:
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)

Ejemplo 1:

1 + a3 (1 + a) (12 – 1(a) +( a)2)


R:(1 + a) (1 – a + a2)

Ejemplo 2:

x3 – 27
(x – 3 ) ((x)2 + (x)3 + (3)2)


R: (x – 3 ) (x2 + 3x + 9)

Ejemplo 3:

x6 – 8y12
(x2 – 2y4) ((x2)2 + (x2)(2y4) + (2y4)2)


R: (x2 – 2y4) (x4 + 2x2 y4 + 4y8)

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1:

1 + (x + y)3
(1 +(x + y) (12 – 1(x + y) +(x + y)2)

R:(1 + x + y) (1 – (x + y) + (x + y)2)
(1 + x + y) (1 – x – y + x2 + 2xy + y2)

Ejemplo 2:

(m – 2)3 + (m – 3)3
((m – 2) + (m – 3) ((m – 2)2 – ((m – 2) (m – 3) + (m – 3)2)

R: (m – 2+ m – 3) ((m2 – 4m + 4) – ((m – 2) (m – 3)) + (m2 – 6m + 9))
(2m – 5) (m2 – 4m + 4) – (m2 – 3m – 2m + 6) + (m2 – 6m + 9))
(2m – 5) (m2 – 4m + 4– m2 + 3m + 2m – 6 + m2 – 6m + 9)
(2m – 5) (m2 – 5m +7)

Ejemplo 3:
(x – y)3 – 8

((x – y) – 2) ((x– y)2 + 2(x – y) + (2)2)
R: (x – y – 2) (x2 – 2xy + y2 + 2x– 2y + 4)

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Procedimiento:
Se aplican los siguientes criterios:
Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + - bn


Criterio 1: an – bn es divisible por a - b siendo n par o impar
Criterio 2: an – bn es divisible por a + b siendo n impar
Criterio 3: an – bn es divisible por a + b siendo n es par
Criterio 4: an + bn nunca es divisible por a - b


Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales
Factorar x5 +32
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x5 = x; raíz quinta de 32 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:


(x4 – x3(2) +x2(2)2 – x (2)3 + (2)4) = (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
x5 +32 = (x +2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

Ejemplo 1:

a5 + 1

a5 + 1 = a4 – a3 + a2 – a + 1 a + 1


Ejemplo 2:

m7 – n7

m7 – n7 = m6 + m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4+ mn5 + n6 m – n


Ejemplo 3:


x7 + 128
x7 + 128 = x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 +16x2 – 32x + 64
x + 2

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (6 CASO Y 7 CASO )

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como


x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15


Que cumplen las condiciones siguientes:
• El coeficiente del primer término es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

Ejemplo 1:


x2 + 7x + 10

R :( x + 5 ) ( x + 2 )

Ejemplo 2:


n2 + 6n – 16

R: ( n + 8 ) ( n – 2 )

Ejemplo 3:


a2 + 42a + 432

R: ( a + 24 ) (a + 18 )

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1

X8 – 2x4 – 80


R: ( x4 – 10 ) ( x4 + 8 )

Ejemplo 2:

(m – n)2 + 5(m – n) – 24

R: (( m – n) + 8 ) ((m – n) – 3 )


( m – n + 8 ) (m – n – 3 )

Ejemplo 3:


m2 + abcm – 56a2b2c2
R: ( m + 8abc ) (m – 7abc)

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:
El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.

ax2 + bx + c

Ejemplo 1:

2x2 + 3x – 2

(2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2

= 4x2 + (2) 3x – 4


= (2x + 4 ) (2x – 1 )
2 x 1

R= (x + 2) (2x – 1)



Ejemplo 2:

16m + 15m2 – 15

15m2 + 16m – 15

15(15m2) +(15) 16m –(15) 15


= 225m2 + (15) 16m – 225

= (15 m + 25 ) ( 15 m – 9 )
5 x 3

R= ( 3m + 5 ) ( 5m – 3 )


Ejemplo 3:

30x2 + 13x –10

(30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10

900x2 + (30)13x – 300

= (30x + 25 ) (30 x – 12 )
5 x 6

= (6x + 5) (5x – 2)

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1:


6x4 + 5x2 – 6

(6) 6x4 + (6)5x2 – (6) 6

36x4 + (6)5x2 – 36


= (6x2 + 9 ) (6x2 – 4 ) 3 x 2



= (2x2 + 3) (3x2 – 2)

Ejemplo 2:



6m2 – 13am – 15a2

(6) 6m2 – (6) 13am – (6)15a2

36m2 – (6) 13am – 90 a2

= (6m – 18a ) (6m + 5a ) 6 x 1


= (m – 3a ) (6m + 5a)


Ejemplo 3:


18a2 + 17 ay – 15y2

(18) 18a2 + (18)17 ay – (18) 15y2

324a2 + (18) 17ay – 270y2


= (18a + 27 ) (18a – 10 ) 9 x 2


= (2a + 3y) (9a – 5y)

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN (4 CASO Y 5 CASO)

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

Ejemplo 1:

X2 - y 2x y = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia R: = (x + y) (x- y)

Ejemplo 2:

100m2n4 - 169y6
10mn2 13y3 = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)

Ejemplo 3:

1 - 9a2b4c6d8
1 3 ab2c3d4 = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4)

CASO ESPECIAL

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es c
Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b - c)

Ejemplo 1:

(a - 2b)2 - (x + y)2 (a - 2b) (x + y) = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((a - 2b) + (x + y)) ((a - b) - (x + y))
(a - 2b + x + y) (a -2b - x - y)

Ejemplo 2:
16a10 - (2a2 + 3) 2
4a5 (2a2 + 3) = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia R: = ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))
(4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)
Ejemplo 3:
36(m + n)2 - 121(m - n)2
6(m + n) 11(m - n) = Raíces
Se multiplica la suma por la diferencia
R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n))
(6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)
(17m + 5n ) (5m +17n)

CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV

Ejemplo 1:


a2 + 2ab + b2 - x2

(a2 + 2ab + b2) - x2

(a + b) 2 - x2


R : (a + b + x)(a + b - x)


Ejemplo 2:


1 - a2 + 2ax - x2

1 - (a2 + 2ax - x2)

1 - (a - x)2


R: (1 - a + x) (1 + a + x)


Ejemplo 3:

16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2

(16a2 -24ax + 9x2) - (1 + 10m + 25m2)

(4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2


R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.Ejemplo 1:

a4 + a2 + 1
+ a2 - a2
a4 + 2a2+ 1 - a2


(a4 + 2a2+ 1) - a2

(a2 + 1)2 - a2


R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)



Ejemplo 2:


254 + 54a2b2 + 49b4
+ 16 a2b2 - 16 a2b2­
254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2­

(254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2­

(5a2 + 7b)2- 16 a2b2


R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)

(5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)


Ejemplo 3:


81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16
+ 4 a2b4x8 – 4 a2b4x8
81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16 – 4 a2b4x8

(81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16) – 4 a2b4x8

(9a2b4 - 16x8)2 – 4 a2b4x8


R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4) (9a2b4 - 16x8 – 2 ab2x4)

(9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8) (9a2b4 – 2 ab2x4 - 16x8 )

CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

Ejemplo 1:


x4+ 64y4
x4 + 64y4
+ 16x2y2 - 16x2y2
x4 + 16x2y2 + 64y4 - 16x2y2


(x4 + 16x2y2 + 64y4) - 16x2y2

(x2 + 8y2)2 - 16x2y2



R: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 - 4xy) (x2 + 4xy + 8y2) (x2 - 4xy + 8y2)


Ejemplo 2:

4m4 + 81n4


4m4 + 81n4 + 36m2n2 - 36m2n2
4m4 + 36m2n2 + 81n4 - 36m2n2


(4m4 + 36m2n2 +81n4) - 36m2n2

(2m2 + 9n2)2 - 6m2n2



R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn) (2m2 + 6mn + 9n2) (2m2 - 6mn + 9n2)



Ejemplo 3:

81a4 + 64b4

81a4 + 64b4 +144a2b2 - 144a2b2
81a4 +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2


(81a4 +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2

(9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2



R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2)